William Lane Craig presenta el siguiente argumento filosófico como apoyo al argumento cosmológico Kalām:

  1. Un infinito actual no puede existir.
  2. Una regresión infinita de eventos en el tiempo es un infinito actual.
  3. Por lo tanto, una regresión infinita de eventos en el tiempo no puede existir.
En lo que sigue, me enfocaré en la primera premisa, haciendo caso omiso de la segunda premisa y del argumento cosmológico. El asunto principal con todo esto es si el infinito (o infinitos) existen o pueden existir realmente, aunque el argumento a punte, en última instancia, a demostrar que el universo tuvo un comienzo temporal.

Infinito actual y potencial

¿Qué es un infinito actual? Esta clase de infinito se diferencia del infinito potencial. Podemos establecer su diferencia en esto: entendiendo que ambos comprenden un conjunto de cosas existentes, un infinito potencial supondría un conjunto que tendría la capacidad de extenderse numéricamente ad infinitum, esto es, de tener un número progresivamente creciente de miembros, mas nunca en acto. Por su parte, un infinito actual supondría, por el contrario, un número actual de miembros infinitos, no meramente en potencia.

En teoría de conjuntos, la característica principal de un infinito actual es que el conjunto o el todo no es más grande que sus partes. Usando términos propios de teoría de conjuntos, los subconjuntos pueden ser emparejados uno a uno con el conjunto principal, el cual posee un número infinitamente actual de miembros. Por ejemplo, siendo ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} el conjunto de todos los números naturales y A el conjunto de los números pares, entonces A es un subconjunto propio de ℕ, es decir, A contiene algunos miembros de ℕ, pero no todos sus miembros. Ambos sets no son iguales, en tanto que no contienen los mismos elementos. No obstante, son equivalentes, esto es, poseen el mismo número de miembros.

Se dice que dos conjuntos son equivalentes si y solo si los miembros de ambos conjuntos pueden ser emparejados uno a uno. De acuerdo con lo dicho, los conjuntos infinitos [numerables]* son equivalentes a sus subconjuntos propios [infinitos y numerables]*, mientras que esto no sucede con los conjuntos finitos, los cuales poseen un número delimitado de elementos. Si emparejáramos ℕ y A [los cuales son conjuntos numerables]*, resultaría que habría un número par que corresponda a un número natural, mientras que, si emparejáramos un conjunto finito B con un subconjunto propio C de B, resultaría lo contrario, por el número limitado de miembros de ambos conjuntos.

Por su parte, un infinito potencial no tiene lugar, de acuerdo con Craig (1979), en teoría de conjuntos porque el número de sus miembros no sería definido, por tanto, sería diferente tanto de un conjunto infinito y finito (en tanto poseen miembros definidos). Como tal, el número de miembros de un conjunto potencialmente infinito, en virtud de que este posee una capacidad ilimitada de miembros en potencia, es indefinido: indefinido en cuanto a que puede crecer, aunque actualmente tenga un número finito de miembros. En sentido estricto, pues, sólo son conjuntos infinitos los infinitos actuales. Como dice él:

La diferencia crucial entre un conjunto infinito y una colección indefinida sería que el primero se concibe como un todo determinado que posee en acto un número infinito de miembros, mientras que el segundo nunca alcanza el infinito, aunque aumenta ilimitadamente (pp. 68-69). 

Ahora bien, cuando menciona que los infinitos actuales no pueden existir, se está refiriendo existir en la realidad, poseer «existencia extra-mental» (Craig, 1979, p. 69). No disputa de ningún modo la legitimidad matemática de dicha noción, solamente su aplicación en la realidad. Agrega que se puede dar por sentada la consistencia matemática, pero que es intuitivamente obvio que no se puede deducir de eso la existencia real de los conjuntos infinitos. La mejor manera de poder ilustrar esto es, según él, a través de «varios absurdos que resultarían si los infinitos actuales son instanciados en el mundo real» (p. 82).

El ejemplo más conocido que él da a favor del Kalām es el Hotel de Hilbert. Según su argumentación, la realización fáctica de tal hotel mostraría los absurdos que surgirían en la realidad si existiesen infinitos actuales.

Hotel de Hilbert

El experimento mental del Hotel de Hilbert va de este modo1. En un hotel común, si se encuentra repleto de huéspedes y llega uno nuevo buscando una habitación disponible, este sería rechazado; pero, en el Hotel de Hilbert no es así:

«¡Por supuesto!» dice el propietario, e inmediatamente traslada a la persona de la habitación #1 a la habitación #2, a la persona de la habitación #2 a la habitación #3, a la persona de la habitación #3 a la habitación #4, y así hasta el infinito. Como resultado de estos cambios de habitación, la habitación número 1 queda vacía y el nuevo huésped se registra agradecido. (Craig y Sinclair, 2009, p. 109)

Hay un nuevo huésped en el hotel, pero antes de su llegada, había un número infinito de huéspedes, por lo que el número de huéspedes no ha cambiado; es decir, ¡es el mismo número de invitados! Pero esta situación se vuelve aún más extraña cuando suponemos no solamente un nuevo invitado, sino un número infinito de nuevos invitados. 

Ahora, el propietario traslada a la persona de la habitación #1 a la habitación #2, a la persona de la habitación # 2 a la habitación #4, a la persona de la habitación #4 a la habitación #6, y así sucesivamente, hasta que todas las habitaciones impares queden vacías. Por lo tanto, hay muchas habitaciones libres para nuevos huéspedes. Sin embargo, todas las habitaciones estaban ocupadas antes de la llegada de los nuevos huéspedes, y el número de huéspedes es el mismo, no ha cambiado. 

Además, la situación se vuelve más extraña si suponemos que un invitado se ha ido. En un hotel normal, si un huésped se marcha, hay menos huéspedes; pero en este hotel se mantiene el mismo número de huéspedes, aunque hay un huésped menos. Incluso si suponemos que todos los invitados de las habitaciones impares se fueron, ¡el mismo número de invitados es el mismo! Ya que hay invitados en habitaciones pares. En todos estos casos, el número de invitados es el mismo, es decir, infinito.

Pero hay un caso en el que el número cambia. Supongamos que las personas en las habitaciones 4, 5, 6, etc., se marcharon. Entonces, hay tres huéspedes en el hotel, es decir, las personas de las habitaciones 1, 2 y 3. En resumen, tenemos diferentes resultados extraños según cada caso:

  1. Infinito más uno es igual a infinito.
  2. Infinito más infinito es igual a infinito.
  3. Infinito menos uno es igual a infinito.
  4. Infinito menos infinito es igual a infinito.
  5. Infinito menos infinito es igual a tres.

Está más que claro que estos resultados son extrañísimos. Craig (1979) agrega que el Hotel de Hilbert muestra que, de existir, «sería imposible sumarle [al infinito actual]», lo que sería absurdo, pues podemos añadir más elementos a diversos conjuntos, por ejemplo, una portada a cada libro de un conjunto de libros (p. 85). El hecho de que podamos añadir más miembros a los diversos conjuntos actuales muestra que la existencia de un infinito actual es imposible (por cuanto no se le aplicaría tal «regla» a ellos). 

Modalidad e intuiciones metafísicas

Craig y Sinclair (2009, p. 105) mencionan que la modalidad en cuestión no corresponde a una de tipo lógico, ya que tan sólo bastaría la posibilidad lógica (matemática, en este caso) para asegurar la existencia de los infinitos actuales. Más bien, la posibilidad es metafísica (broadly logical possibility), aquello que puede ser «actualizable» o «realizable», según ellos. (Aunque agregan que no es lo suficientemente «amplia» como para captar la necesidad o imposibilidad de las proposiciones sintéticas). Por tanto, dicha modalidad es más difusa que la posibilidad meramente lógica; requiere de algo más que la consistencia o validez de la lógica de primer orden o de la matemática.

Tal clase de argumentos descansa sobre «intuiciones y argumentos de concebibilidad», por lo que suelen descansar sobre una base más subjetiva con aquellos argumentos que responden a una posibilidad lógica, ni tampoco pueden ser refutados bajo la premisa de que la imposibilidad metafísica de ciertos estados de cosas no ha sido demostrada bajo esa clase de posibilidad (p. 106).

Ahora, ¿bajo qué «intuición metafísica» descansa su argumento? Por lo que dejan a entender, en la imposibilidad ontológica de restar una cantidad igual de una cantidad igual y llegar a diferentes resultados (p. 112). O sea, si restamos o sumamos dos cantidades iguales, necesariamente obtendremos un solo resultado, y no diferentes resultados cada vez que realizamos esas operaciones. Esta «contradicción» es notable en aritmética transfinita, y también en el Hotel de Hilbert, pero, aparentemente, de esto se puede concluir en que los infinitos actuales no existen. 

Como dijimos ya, es un hecho evidente que podemos realizar la resta y suma de cantidades iguales y no obtener distintos resultados, pero esto sería una excepción si existiesen los infinitos actuales. Si hubiese un hotel como el de Hilbert, entonces nada podría evitar que se muevan infinitos invitados, y que se retiren infinitos invitados, y que siga infinitamente lleno, lo que contradeciría a nuestras intuiciones más comunes.

Breve crítica del argumento

No obstante, me parece que las observaciones realizadas por algunos filósofos deja claro por qué el argumento no es exitoso, es decir, no prueba efectivamente la imposibilidad metafísica de los infinitos actuales. Me basaré en James East (2013) y Jacobus Erasmus (2018). 

En primer lugar, el argumento se basa en la intuición metafísica que acabo de apuntar, por lo tanto, y al ser meramente subjetiva (hasta que se demuestre lo contrario), cualquiera podría rechazar el argumento. Segundo, si se quiere sostener esa intuición metafísica razonablemente, debería de probarse primero que la sumatoria y resta de cantidad infinitas e iguales siempre resultan en cantidades iguales, lo cual, matemáticamente hablando, no es así. De hecho, si los infinitos actuales existiesen, esto último sería directamente falso, en tanto que no correspondería en realidad a la manera en que se «comportan» los infinitos actuales matemáticamente. Por tanto, es errado concluir que los infinitos actuales no pueden existir porque no responden a esa intuición, la cual simplemente no se les aplica.

Podemos estar de acuerdo con un punto: si los infinitos actuales existen, entonces sí habría una excepción a esa regla. De esto, no obstante, no se puede concluir de ningún modo su imposibilidad metafísica; o sea: de la negación de dicho «principio» no se puede inferir la inexistencia de los infinitos actuales. Intentar esto último volvería al argumento circular, tal como dice East (2013), porque se intenta demostrar su inexistencia con base en la afirmación del principio. En consecuencia, me parece que, si los infinitos actuales existiesen o pudiesen hacerlo, ese principio (si siquiera lo es) no se mostraría tan fuerte como Craig lo intenta mostrar, por lo que su argumento fallaría por esa razón.     

De esta última conclusión no se infiere que los infinitos existen realmente, o que es metafísicamente posible su existencia. Solamente se hace notar que ese argumento falla en mostrar que el infinito no existe o no puede existir. 

Notas

1. La descripción del HH la tomo de un ensayo que posteé hace un tiempo en Academia.edu. 

Referencias

Craig, W. L. (1979). The Kalām Cosmological Argument. The Macmillan Press.

Craig, W. L., & Sinclair, J. D. (2009). The kalam cosmological argument. En W. L. Craig & J. P. Moreland (Eds.), The Blackwell Companion to Natural Theology (pp. 101-201). Wiley-Blackwell.

Erasmus, J. (2018). The Kalām Cosmological Argument. A Reassessment. Springer. 

East, J. (2013). Infinity minus Infinity. Faith and Philosophy, 30(4), 429-433.